Métodos Iterativos

CIMEC
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  • Especialidad
  • Santa fe
  • Duración:
    4 Meses
Descripción

El objetivo de este curso es brindar al estudiante de posgrado una base matemática e informática en lo que respecta a la solución de grandes sistemas de ecuaciones lineales y no lineales que provienen, generalmente, de la discretización de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Se presentarán las bases matemáticas necesarias para el estudio de convergencia, estabilidad y precisión de métodos iterativos que son de uso extensivo por la comunidad científica para la solución de grandes sistemas de ecuaciones; como así también, se darán detalles de la implementación de estos algoritmos

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Santa Fe
Santa Fe, Argentina
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Preguntas Frecuentes

· Requisitos

Nociones básicas de Matemática y Álgebra Lineal. Conocimiento de lenguajes de programación como C/C++ y/o Matlab/Octave.

Temario

Programa sintético:
[1] Conceptos Básicos y Métodos Iterativos Estacionarios.
[1.1] Revisión y notación.
[1.2] El lema Banach e inversas aproximadas.
[1.3] El radio espectral.
[1.4] Métodos iterativos estacionarios clásicos.
[1.5] Ejercicios.
[2] Método Iterativo de los Gradientes Conjugados (CG).
[2.1] Métodos de Krylov y la propiedad de minimización.
[2.2] Consecuencias de la propiedad de minimización.
[2.3] Criterios de terminación de la iteración.
[2.4] Implementación.
[2.5] Precondicionamiento.
[2.6] Métodos CGNR y CGNE.
[2.7] Ejemplos del método de CG con precondicionamiento.
[2.8] Ejercicios.
[3] Iteración de GMRES.
[3.1] La propiedad de minimización y sus consecuencias.
[3.2] Criterios de terminación de la iteración.
[3.3] Precondicionamiento.
[3.4] Implementación de GMRES: ideas básicas.
[3.5] Implementacion en una base ortogonal.
[3.6] Colapso de GMRES (Breakdown).
[3.7] El algoritmo de Gram-Schmidt modificado.
[3.8] Una Implementación eficiente.
[3.9] Estrategias de reortogonalización.
[3.10] Restart.
[3.11] Ejemplos para el método de GMRES.
[3.12] Ejercicios.
[4] Conceptos Básicos en Iteración de Punto Fijo.
[4.1] Tipos de convergencia.
[4.2] Iteración de punto fijo.
[4.3] Hipótesis estandares.
[5] Método de Newton.
[5.1] Convergencia local del método de Newton.
[5.2] Criterios de terminación de la iteración.
[5.3] Implementación del método de Newton.
[5.4] Errores en la función y en su derivada.
[5.4.1] El método de la cuerda.
[5.4.2] Inversión aproximada de F.
[5.4.3] El método de Shamanskii.
[5.4.4] Aproximación de F por diferencias.
[5.4.5] El método de la secante.
[5.5] Ejemplos del método de Newton.
[5.6] Ejercicios.
[6] El Método de Descomposición de dominios.
[6.1] Condicionamiento del problema de interfase. Analisis de Fourier.
[6.1.1] Problema de Poisson.
[6.1.2] Problema de Advección-Difusión.
[7] Resolución en Plataformas Paralelas de Problemas Lineales y No Lineales usando PETSc.
[7.1] Introducción a la Librería PETSc.
[7.2] Resolución de la Ecuación de Laplace.
[7.3] Resolución de la Ecuación de Advección-Difusión.
[7.4] Resolución de Problemas No Lineales.
Para que te prepara:
El objetivo de este curso es brindar al estudiante de posgrado una base matemática e informática en lo que respecta a la solución de grandes sistemas de ecuaciones lineales y no lineales que provienen, generalmente, de la discretización de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Se presentarán las bases matemáticas necesarias para el estudio de convergencia, estabilidad y precisión de métodos iterativos que son de uso extensivo por la comunidad científica para la solución de grandes sistemas de ecuaciones; como así también, se darán detalles de la implementación de estos algoritmos en plataformas de cálculo secuenciales y paralelas con el posterior análisis de su desempeño. Se abordarán temas de constante estudio y desarrollo como lo es el método de Descomposición de Dominios y su precondicionamiento. La idea del curso es también la de usar y evaluar la performance de los métodos iterativos dentro del contexto de la Mecánica Computacional.

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